Question

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\arctan n}{n^2+1}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

$\arctan$ sınırlı (ya da sonsuzdaki limiti var olan) bir fonksiyon ve $n^2+1$ de $n^2$ ile ilişkili olduğundan verilen toplamı $1/n^2$ ile ilişkilendirebiliriz.

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Toplamı basitleştirmek istersek paydaki $\arctan$ (sınırlı ya da) sonsuzda limiti var olan bir fonksiyon ve paydada ise en güçlü terim olarak $n^2$ var. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.

Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{\arctan n}{n^2+1}}{\dfrac1{n^2}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(\arctan n\cdot \frac{n^2}{n^2+1}\right) \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(\arctan n\cdot \frac{1}{1+n^{-2}}\right)\\[15pt] &= \ \frac\pi2\cdot \frac{1}{1+0}\\[15pt] &= \ \frac\pi2\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p=2 > 1$ olduğundan,  $p$-seri testi gereği yakınsaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\arctan n}{n^2+1}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.

Answer 2

Fikir:
Verilen toplamdaki terimlerin doğal fonksiyon halinin integralini almak mümkün. Bu nedenle verilen toplam için integral testini uygulayabiliriz. 

İntegral testini uygulayabilmek için
İlgili fonksiyonun, bir yerden sonra,
pozitif,
sürekli ve
azalan
olması gerekiyor.

Bu şartların sağlandığını göstermeden integral testini uygulayamayız.

____________________________________

Şartların sağlandığını gösterme:
İlgili fonksiyon:
Verilen toplamın terimlerini $[1,\infty)$ üzerinde $$f(x)=\frac{\arctan x}{x^2+1}$$ kurallı fonksiyon ile ilişkilendireceğiz.

Pozitiflik:
$x\ge 1$ için $\arctan x>0$ ve $x^2+1>0$ olduğundan $$\frac{\arctan x}{x^2+1}>0$$ olur.

Süreklilik:
$x\ge 1$ için $\arctan x$ ve $x^2+1$ fonksiyonları sürekli olduğundan (ve payda sıfır olmadığından) $$\frac{\arctan x}{x^2+1}$$ fonksiyonu sürekli olur.

Azalanlık:
Verilen fonksiyonun türevini alırsak, $x\ge 1$ değerleri için, $$f^\prime (x) \ = \ \dfrac{\dfrac{1}{x^2+1}\cdot (x^2+1)-\arctan x\cdot(2x)}{(x^2+1)^2} \ = \ \dfrac{1-2x\arctan x}{(x^2+1)^2}<0$$ eşitsizliği sağlanır ve $f$ fonksiyonu $[1,\infty)$ üzerinde azalan olur.

Açıklama: $x$ ve $\arctan x$ artan fonksiyonlar olduğundan, $x\ge 1$ için, $$2x\arctan x-1\ge 2\cdot 1 \cdot \arctan 1-1=\frac\pi2-1>0$$ eşitsizliği sağlanır.

Test için istenen şartlar sağlandığına göre integral testini uygulayabiliriz.

________________________________________

İntegral hesabı:
Belirsiz integral olarak elimizde \begin{align*}\int \frac{\arctan x}{x^2+1}\ dx \ &= \ \int u \ du \qquad\qquad\begin{pmatrix}u\ &=\ &\arctan x \\[5pt] du \ &= \ &\dfrac1{x^2+1}\ dx \end{pmatrix}\\[10pt] &= \ u^2+c\\[10pt] &= \ \arctan^2 x+c\end{align*} eşitliği var. Dolayısıyla \begin{align*}\int_1^\infty \frac{\arctan x}{x^2+1}\ dx \ &= \lim_{R \to \infty}\int_1^R \frac{\arctan x}{x^2+1}\ dx \\[10pt] &= \ \lim_{R \to \infty}\arctan^2 x \bigg|_1^R\\[10pt] &= \ \lim_{R \to \infty}(\arctan^2 R -\arctan^2 1)\\[10pt] &= \ \left(\frac\pi2\right)^2-\left(\frac\pi4\right)^2\end{align*} eşitliği sağlanır.

Toplamın yakınsaklığı:
İlişkili integralimiz yakınsak olduğundan, integral testi gereği, istenen $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\arctan n}{n^2+1}$$ toplamı da yakınsar.