Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Herhangi bir $r>0$ için $x^r$ fonksiyonu sonsuzda $\ln x$ üzerinde baskın olduğudan doğal olarak $(\ln x)^{100}$ üzerinde de baskın olur. Bu nedenle $1/n$ ya da $0<p\le 1$ için herhangi bir $1/n^p$ kıyası bize limiti sonsuz olan bir sonuç vereceğinden bunlardan biri ile limit kıyaslama testi yapabiliriz.
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek (burada kuvvet fonksiyonları ile logaritmik fonksiyonların arasındaki limit ilişkisini bulmak için klasik bir yöntem kullanacağız, 100 kere l'Hôpital yerine 1 kere almanın yeterli olduğu) \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{\dfrac1{(\ln n)^{100}}}{\dfrac1{n}}\ &= \ \lim_{n \to \infty}\frac{n}{(\ln n)^{100}}\\[15pt] &= \ \lim_{x \to \infty}\frac{x}{(\ln x)^{100}}\\[15pt] &= \ \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{1/100}}{\ln x}\right)^{100}\\[15pt] &= \ \left(\lim_{x \to \infty}\frac{x^{1/100}}{\ln x}\right)^{100}\\[15pt] &= \ \left(\lim_{x \to \infty}\frac{(1/100)x^{-99/100}}{1/x}\right)^{100}\\[15pt] &= \ \left(\lim_{x \to \infty}(1/100)x^{1/100}\right)^{100}\\[15pt] &= \ \infty\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı, $p=1\le 1$ olduğundan, $p$-toplam testi gereği ırakınsar.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{(\ln n)^{100}}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.