Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
$n$ sonsuza giderken $1/n$ sıfıra sağdan yaklaşır. Bu nedenle $\ln(1+x)$ fonksiyonunun sıfır noktasındaki türevini düşünürsek sıfır noktasındaki $\ln(1+x)/x$ limiti $1$ olur. Bu da $1/n$ ile limit karşılaştırma testini uygulayabileceğimizi söyler.
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \ln\left(1+\dfrac1n\right)}{\dfrac1n}\ &= \ \lim_{x \to \infty}\dfrac{ \ln\left(1+\dfrac1x\right)}{\dfrac1x} \qquad (\text{Gerçel tanım kümesi})\\[15pt] \ &= \ \lim\limits_{t \to 0^+}\dfrac{\ln(1+t)}{t} \qquad (t=x^{-1} \ \text{dönüşümü})\\[15pt]&= \ \frac{1}{1+0} \qquad\qquad \left(\frac{d}{dx}(\ln(1+x))=\frac{1}{1+x}\right)\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
Harmonik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{ n}$$ toplamı, $p=1\leq 1$ olduğundan, $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \ln\left(1+\dfrac1n\right)$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, sonsuza ıraksak olur.