Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.
Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için $$\dfrac1{4n^2-1}=\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac12\left(\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n+1}\right)$$ eşitliği sağlanır.
Parça toplam: $\require{cancel}$
$k\ge 1$ için \begin{align*}\sum_{n=1}^k \dfrac{1}{4n^2-1}\ &= \ \sum_{n=1}^k \frac12\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+1}\right) \\[10pt] &= \ \frac12\left(1-\cancel{\frac13}\right)\\ &\ \ +\frac12\left(\cancel{\frac13}-\cancel{\frac15}\right)\\ &\ \ +\frac12\left(\cancel{\frac15}-\cancel{\frac17}\right)\\ &\ \ \, +\\ &\ \ \ \vdots\\ &\ \ +\frac12\left(\cancel{\frac1{2k-1}}-\frac1{2k+1}\right)\\[10pt] &=\ \frac12\left(1-\frac1{2k+1}\right)\end{align*}eşitliği sağlanır.
Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{4n^2-1} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \dfrac{1}{4n^2-1}\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \left[\frac12\left(1-\frac1{2k+1}\right)\right]\\[10pt] &= \ \frac12(1-0)\\[10pt] &= \ \frac12\end{align*} eşitliğini elde ederiz.