Question

$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$$ toplamının değerini bulunuz.

Answer 1

Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.

Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için $$\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)=\ln(n+1)-\ln n$$ eşitliği sağlanır. 

Parça toplam:
$k\ge 1$ için \begin{align*}\require{cancel}\sum_{n=1}^k \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\ &= \ \sum_{n=1}^k \left(\ln(n+1)-\ln n\right) \\[10pt] &= \ \left(\cancel{\ln2}-\ln 1\right)\\ &\ \ +\left(\cancel{\ln3}-\cancel{\ln2}\right)\\ &\ \ +\left(\cancel{\ln4}-\cancel{\ln3}\right)\\ &\ \ +\\ &\ \ \vdots\\ &\ +\left(\ln(k+1)-\cancel{\ln k}\right)\\[10pt] &=\ \ln(k+1)-\ln 1\\[10pt] &=\ \ln(k+1)\end{align*}eşitliği sağlanır.

Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right) \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \ln(k+1)\\[10pt] &= \ \infty\end{align*} eşitliğini elde ederiz. Dolayısıyla toplamımız sonsuza ıraksar.

Answer 2

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
$n$ sonsuza giderken $1/n$ sıfıra sağdan yaklaşır. Bu nedenle $\ln(1+x)$ fonksiyonunun sıfır noktasındaki türevini düşünürsek sıfır noktasındaki $\ln(1+x)/x$ limiti $1$ olur. Bu da $1/n$ ile limit karşılaştırma testini uygulayabileceğimizi söyler.

Limite bakma: 
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \ln\left(1+\dfrac1n\right)}{\dfrac1n}\ &= \ \lim_{x \to \infty}\dfrac{ \ln\left(1+\dfrac1x\right)}{\dfrac1x} \qquad (\text{Gerçel tanım kümesi})\\[15pt] \ &= \ \lim\limits_{t \to 0^+}\dfrac{\ln(1+t)}{t} \qquad (t=x^{-1} \ \text{dönüşümü})\\[15pt]&= \ \frac{1}{1+0} \qquad\qquad \left(\frac{d}{dx}(\ln(1+x))=\frac{1}{1+x}\right)\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
Harmonik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{ n}$$ toplamı, $p=1\leq 1$ olduğundan,  $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \ln\left(1+\dfrac1n\right)$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, sonsuza ıraksak olur.