Question

$\lim\limits_{n\to \infty} \sin n$ ve $\lim\limits_{n\to \infty} \cos n$ limitlerinin var olmadığını gösteriniz.

Answer 1

sin limitinin var olmadığı:
Limiti var olarak kabul etmek:
Diyelim ki, bir $L$ gerçel sayısı için, $\lim\limits_{n\to \infty} \sin n=L$ olsun.

Bu durumda cos limitinin sıfır olması:
Bu durumda 
(1) $\lim\limits_{n\to \infty} \sin (n+2)=L$,
(2) $\lim\limits_{n\to \infty} \left(\sin(n+2)-\sin n\right)=0$,
(3) $\lim\limits_{n\to \infty} 2\sin1\cos(n+1)=0$,
(4) $\lim\limits_{n\to \infty} \cos (n+1)=0$
eşitliği sağlanır.

Bu durumda sin limitinin sıfır olması:
Bu durumda
(1) $\lim\limits_{n\to \infty} \cos(n+2)=0$ ve $\lim\limits_{n\to \infty} \cos n=0$,
(2) $\lim\limits_{n\to \infty} (\cos n - \cos(n+2))=0$,
(3) $\lim\limits_{n\to \infty} 2\sin1\sin(n+1)=0$,
(4) $\lim\limits_{n\to \infty} \sin (n+1)=0$,
(5) $\lim\limits_{n\to \infty} \sin n=0$
eşitliği sağlanır. 

1=0 çelişkisi:
Bu durumda \begin{align*} 1 &= \lim\limits_{n\to \infty} 1\\ &= \lim\limits_{n\to \infty} (\cos^2 n+\sin^2 n) \\ &= 0^2+0^2 \\ &= 0\end{align*} eşitliği bize bir çelişki verir.

Answer 2

cos limitinin var olmadığı:
Limiti var olarak kabul etmek:
Diyelim ki, bir $L$ gerçel sayısı için, $\lim\limits_{n\to \infty} \cos n=L$ olsun.

sin limiti yoktur ile çelişki:
Bu durumda 
(1) $\lim\limits_{n\to \infty} \cos (n+1)=L$,
(2) $\lim\limits_{n\to \infty} \left(\cos n \cos 1-\sin n\sin 1\right)=L$,
(3) $L\cos 1-\sin 1\lim\limits_{n\to \infty} \sin n=L$,
(4) $\sin 1\lim\limits_{n\to \infty} \sin n=L\cos 1-L=L(\cos 1 -1)$,
(5) $\lim\limits_{n\to \infty} \sin n=L(1-\cos 1)/\sin 1$ eşitliği sağlanır.
(6) Bu da bize bir çelişki verir.