$A$ kümesini \[\{a_n \ : \ n \in \mathbb Z^+\}\] olarak tanımlayalım. $a_1$ bu kümenin bir elemanı olduğundan $A$ kümesi gerçel sayılar kümesinin boş olmayan bir alt kümesidir. $\{a_n\}$ dizisi üstten sınırlı bir dizi olduğundan bu dizinin terimlerini içeren $A$ kümesi de üstten sınırlı olur. $A$ kümesi gerçel sayıların boş olmayan ve üstten sınırlı bir alt kümesi olduğundan en küçük üst sınıra sahiptir. Bu değeri $L$ olarak tanımlayalım. Amacımız \[\lim\limits_{n\to \infty} a_n=L\] olduğunu göstermektir.
$\epsilon>0$ verilsin. $L$ değeri $A$ kümesinin en küçük üst sınır olduğundan $L-\epsilon$ bir üst sınır olamaz. Dolayısıyla bir $a\in A$ için \[a \le L-\epsilon\] sağlanmaz. Bu da \[a>L-\epsilon\] olmasını gerektirir. $A$ kümesinin elemanları $\{a_n\}$ dizisinin terimleri olduğundan dolayı bir $N\in \mathbb Z^+$ için $a=a_N$ sağlanır. Dolayısıyla \[L-\epsilon < a_N\] sağlanır. $\{a_n\}$ azalmayan bir dizi olduğundan her $n\ge N$ tam sayısı için \[L-\epsilon < a_N\le a_n \ \ \ \text{ yani } \ \ \ L-\epsilon < a_n\] eşitsizliği sağlanır. Ayrıca her $n\ge N$ tam sayısı için $a_n\in A$ olduğundan ve $L$ değeri $A$ kümesin bir üst sınırı olduğundan $a_n\le L$ ve dolayısıyla \[|L-a_n|=L-a_n < \epsilon\] eşitsizliği sağlanır. Bu da bize dizilerde limitin tanımı gereği $\{a_n\}$ dizisinin limit değerinin $L$ olduğunu verir.