$\lim\limits_{x\to c}f(x)=0$ ve $g$ sınırlı ise $\lim\limits_{x\to c}(f\cdot g)(x)=0$ sağlanır.

Question

$c$ bir gerçel sayı olmak üzere $c$ noktasında $f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun limiti sıfır olsun, ve $g:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu sınırlı bir fonksiyon olsun.

Bu şartlar ile $f\cdot g$ fonksiyonunun $c$ noktasındaki limiti sıfır olur.

Answer 1

Sınırlı olma:
$g$ sınırlı bir fonksiyon olduğundan bir $M$ gerçel sayıları vardır ki her $x$ gerçel sayısı için $$\left|g(x)\right|\le M$$ eşitsizliği sağlanır.

|fg| fonksiyonunu makul sınırlama:
Elde ettiğimiz eşitsizliği negatif olmayan $\left|f(x)\right|$ değeri ile çarparsak $$0\le \ \ \left|f(x)\cdot g(x)\right|\le M\cdot \left|f(x)\right|$$ eşitsizliği her $x$ gerçel sayısı için sağlanır.

|fg| fonksiyonunun limiti:
Bu eşitsizlikle birlikte $\lim\limits_{x\to c} 0=0$ ve $\lim\limits_{x\to c} \left( M\cdot \left|f(x)\right|\right)=M\cdot |0|=0$ olduğundan, Sıkıştırma Savı gereği, $$\lim\limits_{x\to c} \left|f(x)\cdot g(x)\right|=0$$ eşitliği sağlanır.

fg fonksiyonunun limiti:
Bir fonksiyonun mutlağının limiti bir noktada sıfırsa aynı noktada kendisinin limiti de sıfır olur. Bu bilgi ile $$\lim\limits_{x\to c} \left(f(x)\cdot g(x)\right)=0$$ eşitliğini elde ederiz.