$\lim\limits_{x\to c}f(x)\ne 0$ ve $\lim\limits_{x\to c}g(x)= 0$ ise$\lim\limits_{x\to c}(f/g)(x)$ fonksiyonunun limit yoktur.

Question

$c$ bir gerçel sayı olmak üzere $c$ noktasında $f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun limiti $0$ olmasın ve $g:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun limiti $0$ olsun. Ayrıca $c$ noktası $f/g$ fonksiyonun tanım kümesinin bir limit noktası olsun.

Bu şartlar ile $f/g$ fonksiyonunun $c$ noktasında bir limiti yoktur.

Answer 1

$f/g$ fonksiyonunun $c$ noktasında bir limiti  olduğunu kabul edelim ve limit değerine $L$ diyelim. Bu durumda $f$ fonksiyonunun $c$ noktasındaki limiti $0$ olmamasına rağmen $$\lim\limits_{x\to c}f(x)=\lim\limits_{x\to c}\left((f/g)\cdot g\right)(x)=L\cdot 0=0$$ eşitliği sağlanır ve bir çelişki elde ederiz.

Bu nedenle ek kabulümüz olan '$f/g$ fonksiyonunun $c$ noktasında bir limiti vardır.' yanlış olur.