+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 4x}{\tan 5x}$$ limitini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

$\tan=\sin\cdot \cos^{-1}$ olarak yazalım ve ifadeyi düzenleyelim. \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 4x}{\tan 5x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin 5x\cdot \frac1{\cos5x}}\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{\sin 5x}\cdot{\cos5x}\right)\end{align*}$0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ eşit olduğu bilgisini kullanbilmek için bu ifadeyi $x/x$ ile çarpalım, amaç doğrultusunda ayıralım ve kesirlerdeki $\sin$ içlerini ilgili pay ve paydaya ile aynı yapalım.  Bu yöntem ile

\begin{align*}\phantom{ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 4x}{\tan 5x}}\ &=\ \lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{x}{x}\cdot \frac{\sin 4x}{\sin 5x}\cdot \cos 5x\right]\\[12pt]\ &=\ \lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{\sin 4x}{x}\cdot \frac{x}{\sin 5x}\cdot \cos 5x\right]\\[12pt]\ &=\ \lim\limits_{x\to 0} \left[\frac{4}{5}\cdot \dfrac{\sin 4x}{4x}\cdot \frac{5x}{\sin 5x}\cdot \cos 5x\right]\\[12pt]&=\ \frac45\cdot 1\cdot 1^{-1}\cdot {\cos (5\cdot 0)}\\[12pt]&=\ \frac45\end{align*}eşitliğini buluruz.

________________________________

Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.

Bu bilgiyi $u_1(x)=4x$ ve $u_2(x)=5x$  kurallı $u_1,u_2: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonları için kullandık. 

...