Terim terim payı ve paydayı $x$ ile bölelim. $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ değerine eşit olduğu bilgisini kullanbilecek şekilde ifadeyi düzenleyelim ve limit değerini bulalım. Bu yöntem ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} &\dfrac{\sin 8x+\sin 4x+\sin 2x+\sin x}{x^8+x^4+x^2+x}\\[19pt] \ &=\ \lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{\sin 8x}{x}+\frac{\sin 4x}{x}+\frac{\sin 2x}{x}+\frac{\sin x}{x}}{x^7+x^3+x+1}\\[19pt] &=\ \lim\limits_{x\to 0} \frac{8\cdot \frac{\sin 8x}{8x}+4\cdot \frac{\sin 4x}{4x}+2\cdot \frac{\sin 2x}{2x}+\frac{\sin x}{x}}{x^7+x^3+x+1}\\[19pt] &=\ \frac{8\cdot 1+4\cdot 1+2\cdot 1+1}{0^7+0^3+0+1} \\[19pt] &=\ 15 \end{align*} eşitliğini buluruz.
_____________________________
Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $a=0$ ile $u_1(x)=2x$, $u_2(x)=4x$ ve $u_3(x)=8x$ kurallı $u_1,u_2,u_3: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonları için kullandık.