+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{3-\sqrt{8+\cos x}}{\sin^2 x}$$ limitini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından
Payı ve paydayı limiti $0$ olmayan $3+\sqrt{8+\cos x}$ ile çarpalım ve ifadeyi düzenleyelim.\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{3-\sqrt{8+\cos x}}{\sin^2 x}&=\lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{3-\sqrt{8+\cos x}}{\sin^2 x}\cdot \dfrac{3+\sqrt{8+\cos x}}{3+\sqrt{8+\cos x}}\right]\\[12pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{3^2-(8+\cos x)}{\sin^2 x}\cdot \frac{1}{3+\sqrt{8+\cos x}}\right]\\[12pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{1-\cos x}{\sin^2 x}\cdot \frac{1}{3+\sqrt{8+\cos x}}\right]\end{align*}$\sin^2 x$ yerine $1-\cos^2x$ yazalım ve $1-\cos x$ sadeleştirmesi yaparak limit değerini bulalım. Bu yöntem ile\begin{align*}\phantom{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{3-\sqrt{8+\cos x}}{\sin^2 x}}\ &=\ \left[\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{1-\cos^2x}\cdot \frac{1}{3+\sqrt{8+\cos x}}\right]\\[12pt] \ &=\ \left[\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\cdot \frac{1}{3+\sqrt{8+\cos x}}\right]\\[12pt]&=\ \lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{1}{1+\cos x}\cdot\frac1{3+\sqrt{8+\cos x}}\right]\\[12pt]&=\ \frac1{1+\cos 0}\cdot \frac{1}{3+\sqrt{8+\cos 0}}\\[12pt]&=\ \frac{1}{12}\end{align*}eşitliğini buluruz.
...