l'Hôpital kuralını uygulayabilmek için integralin türevini almamız gerekiyor. Bu türevi bulalım.
Analizin temel savını kullanma:
Kuralı $f(t)=\sin\sqrt t$ olan $f:\mathbb R_{\ge 0} \to \mathbb R$ fonksiyonu sürekli olduğundan, analizin temel savı I gereği, $$\frac d{dx} \displaystyle\int_0^{x}\sin\sqrt t \ dt=\sin\sqrt x$$ eşitliği sağlanır.
Zincir kuralı:
Paydaki fonksiyonu $$ \displaystyle\int_0^{x^2}\sin\sqrt t \ dt=\left(\displaystyle\int_0^{x}\sin\sqrt t \ dt\right) \circ \left(x^2\right)$$ olarak yazalım. Türevlenebilir fonksiyonlardan oluşan bu bileşke fonksiyona zincir kuralını uygularsak türevi $$2x\cdot\sin\sqrt{x^2}=2x\cdot \sin x $$ olur.
l'Hôpital uygulayalım ve türev değerini bulalım.
Limit değerini bulma:
$0/0$ belirsizliği var. Belirsizliği gidermek için l'Hôpital kuralını uygulayalım ve $\sin x$ sadeleştirmesi yaparak sonuca varalım. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\displaystyle\int_0^{x^2}\sin\sqrt t \ dt}{1-\cos x} \ &= \ \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{2x\cdot \sin x }{\sin x}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to 0^+} 2x\\[15pt] &= \ 2\cdot 0\\[15pt] &= \ 0\end{align*} eşitliğini buluruz.