Payı $\sin$ cinsinden yazabilmek için payı ve paydayı limiti $0$ olmayan $1+\cos \sqrt{x}$ ile; paydayı $\sin$ cinsinden yazabilmek için payı ve paydayı limiti $0$ olmayan $1+\sqrt{\cos x}$ ile çarpalım. $\cos 2\theta=1-\sin^2 \theta$ ve $\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta$ eşitliklerini kullanalım ve $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ eşit olduğunu kullanacak şekilde ifadeyi düzenleyerek limit değerini bulalım. Bu yöntem ile \begin{align*} \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\cdot (1-\cos \sqrt{x})}{1-\sqrt{\cos x}}&=\lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{x\cdot (1-\cos \sqrt{x})}{1-\sqrt{\cos x}}\cdot \dfrac{1+\cos \sqrt{x}}{1+\cos \sqrt{x}}\cdot \frac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\sqrt{\cos x}} \right]\\[22pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left[x\cdot \dfrac{1-\cos^2 \sqrt{x}}{1-\cos x}\cdot \dfrac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\cos \sqrt{x}} \right]\\[22pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left[x\cdot \dfrac{\sin^2 \sqrt{x}}{1-(1-2\sin^2(x/2))}\cdot \dfrac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\cos \sqrt{x}} \right]\\[22pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left[x\cdot \dfrac{\sin^2 \sqrt{x}}{2\sin^2(x/2)}\cdot \dfrac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\cos \sqrt{x}} \right]\\[22pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left[2\cdot \left(\frac{x/2}{\sin(x/2)}\right)^2\cdot \left(\frac{\sin \sqrt x}{\sqrt x}\right)^2\cdot \dfrac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\cos \sqrt{x}} \right]\\[22pt]&=2\cdot (1^{-1})^2\cdot 1^2 \cdot \frac{1+\sqrt{\cos 0}}{1+\cos\sqrt0}\\[22pt]&=2\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
_____________________
Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $a=0$ ile $u_1(x)=x/2$ ve $u_2(x)=\sqrt x$ kurallı $u_1,u_2: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonları için kullandık.