Question

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^2}{1-\cos x}$$ limitini bulunuz.

Answer 1

Payı ve paydayı $1+\cos x$ ile çarpalım.  Paydadaki ifadeleri çarpalım ve $1-\cos^2x$ yerine $\sin^2 x$ yazalım.  $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanabilecek şekilde ifadeyi düzenleyelim ve limit değerini bulalım. Bu yöntem ile\begin{align*}\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{1-\cos x}\ &=\  \lim_{x\to 0} \left[\frac{x^2}{1-\cos x}\cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x}\right]\\[12pt]&=\  \lim_{x\to 0} \left[\frac{x^2}{1-\cos^2 x}\cdot (1+\cos x)\right]\\[12pt]&=\  \lim_{x\to 0} \left[\frac{x^2}{\sin^2 x}\cdot (1+\cos x)\right]\\[12pt]&=\  \lim_{x\to 0} \left[\left(\frac{x}{\sin x}\right)^2\cdot (1+\cos x)\right]\\[12pt]&=\ (1^{-1})^2\cdot (1+\cos 0)\\[12pt]&=\ 2\end{align*}eşitliğini buluruz.

Answer 2

$\cos x$ yerine $1-2\sin^2(x/2)$ yazalım. $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanabilecek şekilde  ifadeyi düzenleyelim ve limit değerini bulalım. Bu yöntem ile \begin{align*}\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{1-\cos x}\ &= \ \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{1-(1-2\sin^2(x/2))}\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{2\cdot\sin^2(x/2)}\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 0} \frac{4\cdot(x/2)^2}{2\cdot\sin^2(x/2)}\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 0} \left[2\cdot \left(\frac{\sin (x/2)}{x/2}\right)^{-2}\right]\\[12pt]&= \ 2\cdot 1^{-2}\\[12pt]&= \ 2\end{align*}eşitliğini buluruz.

_______________________________

Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.

Bu bilgiyi $a=0$ ile $u(x)=x/2$  kurallı $u: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu için kullandık.

Answer 3

Kesirlerle uğraşmamak için $x=2t$ birebir dönüşümü uygulayalım.\begin{align*}\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{1-\cos x}=\lim_{t\to 0} \frac{(2t)^2}{1-\cos 2t}\end{align*}$\cos 2t$ yerine $1-2\sin^2t$ yazalım. $0$ noktasında $t^{-1}\sin t$ limitinin $1$ olduğunu kullanabilecek şekilde  ifadeyi düzenleyelim ve limit değerini bulalım. Bu yöntem ile\begin{align*}\phantom{\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{1-\cos x}}\ &= \ \lim_{t\to 0} \frac{4t^2}{1-(1-2\sin^2t)}\\[12pt]&= \ \lim_{t\to 0} \frac{4t^2}{2\sin^2t}\\[12pt]&= \ \lim_{t\to 0} \left[2\cdot \left(\frac{\sin t}{t}\right)^{-2}\right]\\[12pt]&= \ 2\cdot 1^{-2}\\[12pt]&= \ 2\end{align*}eşitliğini buluruz.