$u=\frac12(\sqrt[3]{x}-1)$ birebir dönüşümü uygulayalım. Bu dönüşüm ile $x=\left(2u+1\right)^3$ olur. Bu dönüşümü limitmizde uygularsak \[\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{1-\cos(\sqrt[3]x-1)}{(x-1)^2}\ = \ \lim_{u\to 0} \frac{1-\cos2u}{[(2u+1)^3-1]^2}\] eşitliğini elde ederiz.
$\cos 2u$ yerine $1-2\sin^2u$ yazalım ve paydadaki ifadeyi açalım. $0$ noktasında $u^{-1}\sin u$ limitinin $1$ olduğunu kullanabilmek için paydayı $u^2$ parantezine alalım ve isteğimiz doğrultusunda ifadeyi düzenleyelim. Bu yöntem ile\begin{align*}\phantom{\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{1-\cos(\sqrt[3]x-1)}{(x-1)^2}}\ &= \ \lim_{u\to 0} \frac{1-(1-2\sin^2u)}{[(8u^3+12u^2+6u+1)-1]^2}\\[12pt]&= \ \lim_{u\to 0} \frac{2\sin^2u}{(8u^3+12u^2+6u)^2}\\[12pt]&= \ \lim_{u\to 0} \frac{2\sin^2u}{u^2\cdot(8u^2+12u+6)^2}\\[12pt]&= \ \lim_{u\to 0}\left[ \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2\cdot\frac{2}{(8u^2+12u+6)^2}\right]\\[12pt]&= \ 1^2\cdot \frac{2}{(8\cdot 0^2+12\cdot 0+6)^2}\\[12pt]&= \ \frac1{18}\end{align*}eşitliğini elde ederiz.