$0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanabilmek için terim terim payı ve paydayı $\sqrt x$ ile bölelim ve $\sin$ içi ile paydalarını eşitleyerek limit değerini bulalım. Bu yöntem ile \begin{align*} \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sqrt{\sin 3x}-\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin 3x}-\sqrt{\sin2x}} \ &= \ \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{\sqrt{\frac{\sin 3x}{x}}-\sqrt{\frac{\sin x}{x}}}{\sqrt{\frac{\sin 3x}{x}}-\sqrt{\frac{\sin 2x}{x}}}\\[12pt] &= \ \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{\sqrt{3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}}-\sqrt{\frac{\sin x}{x}}}{\sqrt{3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}}-\sqrt{2\cdot\frac{\sin 2x}{2x}}}\\[12pt]&= \ \frac{\sqrt{3\cdot 1}-\sqrt{1}}{\sqrt{3\cdot 1}-\sqrt{2\cdot 1}}\\[12pt] &= \ \frac{\sqrt3-1}{\sqrt{3}-\sqrt2}\\[12pt] &=\ (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})\\[12pt] &= \ 3+\sqrt{6}-\sqrt3-\sqrt2 \end{align*} eşitliğini elde ederiz.
_____________________
Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $a=0$ ile $u_1(x)=2x$ ve $u_2(x)=3x$ kurallı $u_1,u_2: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonları için kullandık.