Sürekli fonksiyonların içerisinde limit

Question

$a$ ve $L$ gerçel sayılar olmak üzere $f:\mathbb R\to \mathbb R$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limiti $L$ ve $g:\mathbb R\to \mathbb R$ fonksiyonu $L$ noktasında sürekli ise $$\lim\limits_{x\to a}(g \circ f)(x)=g(\lim\limits_{x\to a}f(x))=g(L)$$ eşitliği sağlanır.

Answer 1

Göstermek istediğimiz:
Verilen $\epsilon >0$ için öyle bir $\delta > 0$ vardır ki $0<|x-a|<\delta$ sağlandığında$$\left|(g \circ f)(x)-g(L)\right|<\epsilon$$ eşitsizliği sağlanır.

İspat:
$\epsilon>0$ verilsin.

(1) $g$ fonksiyonunun $L$ sürekli olduğundan bir $\gamma >0$ için $|x-L|<\gamma$ sağlandığında$$\left|g(x)-g(L)\right|<\epsilon$$ eşitsizliği sağlanır.

(2) $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limiti $L$ olduğundan bir $\delta >0$ için $0<|x-a|<\delta$ sağlandığında$$\left|f(x)-L\right|<\gamma$$ eşitsizliği sağlanır.

(3) Bir üstte bulduğumuz $\delta$ seçimi ile $0<|x-a|<\delta$ sağlandığında, ikinci çıkarım gereği, $\left|f(x)-L\right|<\gamma$ eşitsizliği sağlandığından, birinci çıkarım gereği, $$\left|g(f(x))-g(L)\right|<\epsilon$$ eşitsizliği de sağlanır.