$\lim\limits_{ x \to 1^+} \sqrt{x-1}=0$ eşitliği ($\epsilon-\delta$ tanımı)

Question

Limitin $\epsilon-\delta$ tanımını kullarak aşağıdaki önermeyi ispatlayınız.

$f:\mathbb R_{\ge 1} \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $f(x)=\sqrt{x-1}$ olarak verilsin. \[\lim_{x \to 1^+}f(x)=0\] eşitliği sağlanır.

Answer 1

Kurmamız gereken cümlenin kalıbı:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta= \cdots >0$ seçersek $0<x-1<\delta$ olduğunda $$\left|f(x)-0\right|= \cdots <\epsilon$$ sağlanır.

Yapmamız gereken:
Alt boşluğu doldurarak eşitsizliği delta seçimine uygun bir forma getirmektir ve bu uygun form ile uygun deltayı seçmektir. 

Alt boşluğu doldurma:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta=\cdots  >0$ seçersek $0<x-1<\delta$ olduğunda \begin{align*}\left|f(x)-0\right|&= \left|\sqrt{x-1}-0\right|\\[11pt]&= \sqrt{x-1}\\[11pt]&<\sqrt\delta\end{align*} sağlanır. (Temel cebirsel yöntemlerle kare ve karekök fonksiyonlarının artan fonksiyonlar olduğu gösterilebiliyor.)

Uygun deltayı seçme:
İsteğimiz $\left|f(x)-0\right|<\epsilon$ olduğunu göstermektir. Elimizde $\left|f(x)-0\right|< \sqrt\delta$ eşitsizliği var. Bu eşitsizliği kullanabilmek için \[\sqrt\delta\le \epsilon \ \ \ \text{ yani } \ \ \ \delta \le \epsilon^2\] olacak şekilde bir seçimini yapabiliriz. 

$\delta=\epsilon^2$ seçimine göre ispat:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta=\epsilon^2>0$ seçersek $0<x-1<\delta$ olduğunda \begin{align*}\left|f(x)-0\right|&= \left|\sqrt{x-1}-0\right|\\[11pt]&= \sqrt{x-1}\\[11pt]&<\sqrt\delta\\[11pt]& = \epsilon\end{align*} sağlanır.