$\lim\limits_{x\to \infty} \left(\ln(x^4+1)-\ln(x^4-1)\right)$ limiti

Question

$f:\mathbb R_+ \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=\ln(x^4+1)-\ln(x^4-1)$$ olmak üzere $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$ limitini bulunuz.

Answer 1

İç ifadeyi bir $\ln$ içerisine toplayalım ve gelen polinom kesrinin payını ve paydasını $x^4$ ile bölelim. \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty} f(x)\ &= \ \lim\limits_{x\to \infty} \left(\ln(x^4+1)-\ln(x^4-1)\right)\\[15pt]&= \ \lim\limits_{x\to \infty}\ln \left(\frac{x^{4}+1}{x^{4}-1}\right)\\[15pt]&= \ \lim\limits_{x\to \infty}\ln \left(\frac{1+x^{-4}}{1-x^{-4}}\right)\end{align*}$x^{-4}$ limiti sıfıra gittiğinden $\ln$ içerisindeki ifadenin limiti $1$'e gider. $\ln$ sürekli bir fonksiyon olduğundan, özel olarak $1$ noktasında sürekli olduğundan, limit değerinin $\ln1$ olduğunu buluruz. Bu yol ile \begin{align*}\phantom{\lim\limits_{x\to \infty} f(x)\ }&=\ln\left(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{1+x^{-4}}{1-x^{-4}}\right)\\[15pt]&= \ \ln \left(\frac{1+0}{1-0}\right)\\[15pt]&= \ \ln 1\\[15pt]&= \ 0\end{align*}eşitliğini elde ederiz.