+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$f:\mathbb R\setminus\{-1\} \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=\frac{x^2-1}{x\cdot|x+1|}$$ olmak üzere $\lim\limits_{x\to -1} f(x)$ limitini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Sağ limit: 
$x>-1$ olduğunda $|x+1|=x+1$ eşitliği sağlanır. Bu eşitliği kullanırsak $$\lim\limits_{x\to (-1)^+} f(x)=\lim\limits_{x\to (-1)^+} \frac{x^2-1}{x\cdot|x+1|}=\lim\limits_{x\to (-1)^+} \frac{x^2-1}{x\cdot(x+1)}$$ eşitliğini elde ederiz. $x^2-1$ yerine $(x-1)\cdot (x+1)$ yazalım ve $x+1$ sadeleştirmesi yaparak limit değerini bulalım. Bu yol ile $$=\lim\limits_{x\to (-1)^+} \frac{(x-1)\cdot (x+1)}{x\cdot(x+1)}=\lim\limits_{x\to (-1)^+} \frac{x-1}{x}=\frac{(-1)-1}{-1}=2$$ eşitliğini elde ederiz.

Sol limit (benzer şekilde): 
$x<-1$ olduğunda $|x+1|=-(x+1)$ eşitliği sağlanır. Bu eşitliği kullanırsak $$\lim\limits_{x\to (-1)^-} f(x)=\lim\limits_{x\to (-1)^-} \frac{x^2-1}{x\cdot|x+1|}=\lim\limits_{x\to (-1)^-} \frac{x^2-1}{x\cdot-(x+1)}$$ eşitliğini elde ederiz. $x^2-1$ yerine $(x-1)\cdot (x+1)$ yazalım ve $x+1$ sadeleştirmesi yaparak limit değerini bulalım. Bu yol ile $$=\lim\limits_{x\to (-1)^-} \frac{(x-1)\cdot (x+1)}{-x\cdot(x+1)}=\lim\limits_{x\to (-1)^-} \frac{x-1}{-x}=\frac{(-1)-1}{-(-1)}=-2$$ eşitliğini elde ederiz.

Sonuca varma:
Sağ limit sol limite eşit olmadığından $$\lim\limits_{x\to -1} f(x)$$ limit değeri yoktur.

...