Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{3^{1/n^2}+1}{3n^3+1}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Payda olan $3^{1/n^2}+1$ sınırlı bir ifadedir ve alttan $2$ üstten $3$ ile sınırlıdır. Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki, basit hali ile, en güçlü terim olan $n^3$ ile ilgilenmeliyiz. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı, basit hali ile, terimleri $1/n^3$ olan toplam ile ilişkilendirmiş oluruz.

Limit karşılaştırma testi:

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^3$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{3^{1/n^2}+1}{3n^3+1}}{\dfrac1{n^3}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3^{1/n^2}+1}{3+n^{-3}}  \\[15pt] &= \ \frac{3^0+1}{3+0}\\[15pt]  &= \ \frac23\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{ n^3}$$ toplamı, $p=1\leq 1$ olduğundan,  $p$-seri testi gereği yakınsaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{3^{1/n^2}+1}{3n^3+1}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.

...