Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty  e^{\cos n}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Analiz:
İç fonksiyon bir limit değerine sahip olmadığından, hatta daha zayıf olarak sıfıra eşit bir limite sahip olmadığından, ıraksaklık testi gereği toplam ıraksak olur.

İç limitin sıfır olmaması:
$\lim\limits_{n\to \infty}e^{\cos n}=0$ olduğunu varsayalım.  İç terim pozitif olduğundan bu ifade sıfıra sağdan yaklaşmalıdır. Ayrıca $\ln$ fonksiyonu sürekli olduğundan \[\lim\limits_{n\to \infty}\cos n=\lim\limits_{n\to \infty}\ln(e^{\cos n})=-\infty\] eşitliği sağlanır. $\cos  \ge -1$ olduğundan, limitin baslınlık özelliği gereği, bu mümkün değildir. Bu da bize varsayımımızın yanlış olduğunu verir.

Toplamın ıraksaklığı:
İç terimin limiti var olmadığından ya da varsa bile sıfıra eşit olmadığından, ıraksaklık testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty  e^{\cos n}$$ toplamı ıraksak olur.

...