$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n$ toplamının yakınsaklığı

Question

$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Bu toplamın terim limitinin var olmadığından (mutlağının limiti $1$ olduğundan) sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.

Terim mutlağının limiti:
Toplam içerisindeki terimin mutlağının limitine baktığımızda $$\lim\limits_{n\to \infty}|(-1)^n| \ = \ \lim\limits_{n\to \infty} 1 \ = \ 1$$ eşitliği sağlanır.

Terim limiti:
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti $0$ ise mutlağının o noktadaki limiti de $0$ olur. Üstte bulduğumuz sıfır olmayan limit gereği $\lim\limits_{n \to \infty}(-1)^n$ limiti sıfıra eşit olamaz. 

-----------

Not: İsterseniz tek $n$ değerleri için limitin $-1$e, çift $n$ değerleri için limitin $1$e gitiğini göstererek limit yoktur diyebilirsiniz. Bizim için sıfır olmadığını söylemek yeterli olduğundan bu çabaya girmedik.

Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfırdan faklı olduğundan, ıraksaklık testi gereği,$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n$$ toplamı ıraksar.

Answer 2

Fikir:
Parça toplamların limitine bakarak sonuca varabiliriz.

Parça toplamlar:
$k\ge 0$ tam sayıları için $s_k=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^k (-1)^n$ olarak tanımlarsak $$s_k\ = \ \begin{cases} 0, & k \text{ tek ise}\\  1, & k \text{ çift ise}\end{cases}$$ eşitliği sağlanır.

Parça toplamların tek/çift terimlerinin limiti:
Parça toplamların limtini çift sayılar için hesaplarsak $$\lim\limits_{k \to \infty}s_{2k} \ =\ \lim\limits_{k \to \infty} 0\ =\ 0$$ eşitliğini ve tek sayılar için hesaplarsak $$\lim\limits_{k \to \infty}s_{2k+1} \ =\ \lim\limits_{k \to \infty} 1\ =\ 1$$ eşitliğini elde ederiz.

Parça toplamların limiti:
$\{s_k\}$ dizisinin iki at dizisi farklı limit değerleri verdiğinden $$\lim\limits_{k \to \infty}s_k$$ limiti yoktur.

Toplamın ıraksaklığı
Dolayısıyla $$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \ = \ \lim\limits_{k \to \infty}\displaystyle\sum\limits_{n=0}^k (-1)^n = \ = \ \lim\limits_{k \to \infty}s_k$$ toplamı ıraksar.