Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Tabi bu fikri terim limiti sıfır olanlar için uygulama girişiminde bulunmak daha makul. Bu toplamın terim limitinin $1$ olduğundan sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.
Terim limiti:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda (son eşitliği aşağıda vereceğiz) \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty} n^{\frac1n} \ = \ \lim\limits_{x \to \infty} x^{\frac1x} \ = \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfırdan faklı olduğundan, ıraksaklık testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty n^{\frac1n}$$ toplamı ıraksar.
----------------
İlgili limitin bulunması:
Yöntem:
$\infty^0$ belirsizliği var. Fonksiyonun $\ln$ içindeki hali ile ilgilenelim ve $\exp$ fonksiyonunun sürekliliği ile asıl fonksiyonun limitini bulalım.
ln alma:
Fonkisyonun $\ln$ içerisindeki limitine bakarsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty} \ln\left(x^{\frac1{x}}\right)&=\ \lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac1{x}\cdot \ln x\right) \\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x} \\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x^{-1}}{1}\\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to \infty}\frac1x\\[17pt]&= \ 0\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
exp alma:
$\exp$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde, özel olarak $0$ noktasında, sürekli olduğundan \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}x^{\frac1{x}}\ &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\exp\left[\ln \left(x^{\frac1{x}}\right)\right]\\[17pt] &=\ \exp(0)\\[17pt] &=\ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.