$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{\pi^n}$ toplamının değeri

Question

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{\pi^n}$$ toplamının değerini bulunuz.

Answer 1

Fikir:
İç ifadeyi geometrik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.

Toplamı geometrik olarak yazma:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{\pi^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac3\pi\left(\frac{3}{\pi}\right)^{n-1}$$eşitliği sağlanır.

Toplamın değeri:
$\left|\frac3\pi\right|<1$ olduğundan \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{\pi^n} \ &= \ \sum_{n=1}^\infty \frac3\pi\left(\frac{3}{\pi}\right)^{n-1}\\[10pt] &= \frac3\pi{\frac1{1-\frac3\pi}}\\[10pt] &= \ \frac3{\pi-3}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.