$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n}$ toplamının değeri

Question

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n}$$ toplamının değerini bulunuz.

Answer 1

Fikir:
İç ifadeyi geometrik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.

Toplamı geometrik olarak yazma:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{-1}3\left(\frac{-1}{3}\right)^{n-1}$$eşitliği sağlanır.

Toplamın değeri:
$\left|\frac{-1}{3}\right|<1$ olduğundan \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n} \ &= \ \sum_{n=1}^\infty \frac{-1}3\left(\frac{-1}{3}\right)^{n-1}\\[10pt] &= \frac{-1}{3}{\frac1{1-\frac{-1}{3}}}\\[10pt] &= \ -\frac14\end{align*} eşitliğini elde ederiz.