$f$ fonksiyonu sınırlıdır:
Kapalı aralık üzerinde sınırlı fonkisyonların Darboux integrallerini tanımladığımız için $f$ fonksiyonun sınırlı olup olmadığını kontrol etmeliyiz. Sabit fonksiyonlar en doğal sınırlı fonksiyonlardan biridir. Bunu tanımsal olarak yazarsak her $x\in [a,b]$ için $$c\le f(x)\le c$$ eşitsizliği sağlandığından $f$ bir sınırlı fonksiyon olur.
Parçalar üzerinde infimum ve supremum değerleri:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere $[a,b]$ aralığının aralıklardan oluşan bir $P=\{I_1,\cdots,I_n\}$ parçalanışını alalım. Her bir parça için $$\inf_{I_k}f=c \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sup_{I_k}f=c$$ eşitlikleri sağlanır.
Parçalanışlar üzerindeki alt-üst toplam değerleri:
$P$ parçalanışına karşılık gelen alt toplam değeri $$ L(f,P)=\sum_{k=1}^n\inf_{I_k} f \cdot |I_k|=\sum_{k=1}^nc\cdot |I_k|=c\cdot \sum_{k=1}^n|I_k|=c\cdot (b-a)$$ değerine ve $P$ parçalanışına karşılık gelen üst toplam değeri$$U(f,P)=\sum_{k=1}^n \sup_{I_k}f\cdot |I_k|=\sum_{k=1}^nc\cdot |I_k|=c\cdot \sum_{k=1}^n|I_k|=c\cdot (b-a)$$ değerine eşit olur.
Alt-üst toplam değerleri:
$\mathcal P$ kümesini $[a,b]$ kapalı aralığının tüm parçalanışları kümesi olarak tanımlayalım. Bu durumda $$U(f)=\inf \{ U(f,P) \:|\:P \in \mathcal P\}=\inf \ \{ c\cdot (b-a) \}=c\cdot (b-a)\ \ \ \text{ ve }$$ $$ L(f)=\sup \{ L(f,P) \:|\:P \in \mathcal P \}=\sup \ \{ c\cdot (b-a) \}=c\cdot (b-a)$$ eşitlikleri sağlanır.
İntegral değeri:
$U(f)=L(f)=c(b-a)$eşitliği sağlandığından $f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir ve integral değeri $$\int_a^b c \ dx\ = \ c\cdot (b-a)$$ eşitliği sağlar.