Parçalanış tanımlama:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere $P=\{I_1,\cdots, I_n\}$ parçalanışını alalım ve $x_0,x_1,\ldots,x_n$ gerçel sayılar olmak üzere $1\le k\le n$ tam sayıları için $$I_k=[x_{k-1},x_k]$$ olarak yazalım. Not düşecek olursak $x_0=a$ ve $x_n=b$ eşitlikleri sağlanır.
Ortalama değer savı ile F ile f ilişkisini kurma:
Her $1\le k\le n$ tam sayısı için $F$ fonksiyonu $[x_{k-1},x_k]$ kapalı aralığında sürekli ve $(x_{k-1},x_k)$ aralığı üzerinde türevlenebilir olduğundan, ortalama değer savı gereği, bir $c_k\in (x_{k-1},x_k)$ değeri için $$F(x_{k})-F(x_{k-1})=F^\prime(c_k)\cdot (x_{k}-x_{k-1})=f(c_k)\cdot (x_{k}-x_{k-1})$$ eşitliği sağlanır.
Supremum ve infimum ile ilişkilendirme:
Her $1\le k\le n$ tam sayısı için $c_k\in I_k$ olduğundan $$\inf_{I_k}f \le f(c_k) \le \sup_{I_k}f$$ eşitsizliği sağlanır.
Parçalanışların alt ve üst toplamları ile ilişki kurma:
Üst eşitsizliği kullanırsak her $1\le k\le n$ tam sayısı için $$\inf_{I_k}f\cdot(x_k-x_{k-1}) \le f(c_k)\cdot(x_k-x_{k-1}) \le \sup_{I_k}f\cdot(x_k-x_{k-1})$$ eşitsizliği sağlanır ve ortalama değer savı ile elde ettiğimiz eşitlikle $$\inf_{I_k}f\cdot(x_k-x_{k-1}) \le F(x_{k})-F(x_{k-1}) \le \sup_{I_k}f\cdot(x_k-x_{k-1})$$ eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizliği tüm $1\le k\le n$ tam sayıları için toplarsak sol taraf $f$ fonksiyonunun $P$ parçalanışı üzerindeki alt toplamına, sağ taraf ise üst toplamına eşit olur ve $$L(f;P) \le \sum_{k=1}^n\left(F(x_k)-F(x_{k-1})\right) \le U(f;P)$$ eşitsizliğini elde ederiz. Ortadaki toplam bir sadeleşmeli toplam olduğundan ve $x_0=a$ ve $x_n=b$ eşitlikleri sağlandığından$$L(f;P) \le F(b)-F(a) \le U(f;P)$$ eşitsizliğini elde ederiz.
Alt ve üst toplam ile ilişki kurma:
$[a,b]$ kapalı aralığının her $P$ parçalanışı için $$L(f;P) \le F(b)-F(a) \le U(f;P)$$ eşitsizliği sağlandığından, $L(f)$ ve $U(f)$ tanımları gereği, $$L(f) \le F(b)-F(a) \le U(f)$$ eşitsizliğini elde ederiz.
Sonuç:
$f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir bir fonksiyon olduğundan $L(f)=U(f)$ eşitliği sağlanır. Bu nedenle üst eşitsizlikteki tüm değerler eşittir. Buradan $$\int_a^bf(x)\ dx=U(f)=F(b)-F(a)$$ eşitliğini elde ederiz.