$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^{1/n}}{n}$ toplamının yakınsaklığı

Question

$$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{2^{1/n}}{n}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Payda olan $2^{1/n}$ sınırlı bir ifadedir ve alttan $1$ üstten $2$ ile sınırlıdır.  Paydada olan $n$ basit bir biçimde duruyor. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı, basit hali ile, terimleri $1/n$ olan toplam ile ilişkilendirmiş oluruz. Bu toplam $p$-toplam testi gereği ıraksak bir toplam olduğundan karşılaştırma testine uygun olarak $1/n$ terimli toplamla ilgilenmeliyiz.

Direkt karşılaştırma testi için uygun bireşitsizlik bulma:
Her $n$ pozitif tam sayısı için  $1=2^0 \leq 2^{1/n} $ eşitliği sağlanır ve  $$\frac1n<\frac{2^{1/n}}{n} $$ eşitsizliğini elde ederiz.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
Harmonik toplam olan $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$ toplamı, $p=1 \le 1$ olduğundan,  $p$-seri testi gereği ıraksaktır. 

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty  \frac{2^{1/n}}{n}$$toplamı da ıraksak olur.

Answer 2

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Payda olan $2^{1/n}$ sonsuzda limiti $1$ olan bir dizi ve  paydada olan $n$ basit bir biçimde duruyor. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı, basit hali ile, terimleri $1/n$ olan toplam ile ilişkilendirmiş oluruz. Bu toplam $p$-toplam testi gereği ıraksak bir toplam olduğundan karşılaştırma testine uygun olarak $1/n$ terimli toplamla ilgilenmeliyiz.

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \frac{2^{1/n}}{n}}{\dfrac1n} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}2^{1/n} \\[15pt] &= \ 2^0\\[15pt]  &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
Harmonik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{ n}$$ toplamı, $p=1\leq 1$ olduğundan,  $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{1/n}}{n}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.