$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt n+\cos n}{n^3+\sin n}$ toplamının yakınsaklığı

Question

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt n+\cos n}{n^3+\sin n}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Toplamı basitleştirmek istersek paydaki en güçlü terim olan $\sqrt n$ ve paydadaki en güçlü terim olan $n^3$ ile ilgilenmeliyiz. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{5/2}}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.

Limit karşılaştırma testi:

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^{5/2}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{\sqrt n+\cos n}{n^3+\sin n}}{\dfrac1{n^{5/2}}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^3+n^{5/2}\cos n}{n^3+\sin n} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\frac{\cos n}{\sqrt n}}{1+\frac{\sin n}{n^3}}\\[15pt] &\stackrel{*}{=} \ \frac{1+0}{1+0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır. (Burada trigonometrili limitlerin neden sıfır olduğundan da bahsetmemiz gerekebilir.)

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=5/2 \ge 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{5/2}}$$ toplamı  $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt n+\cos n}{n^3+\sin n}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.

(Kullandığımız limitleri burada ek olarak gösterebiliriz.)

Answer 2

Direkt karşılaştırma testi için aday:
Her $n\ge 2$ pozitif tam sayısı için  $-1<\cos n,\sin n<1$ eşitsizliği sağlanır ve  \begin{equation}\label{eq}0 \leq  \dfrac{\sqrt n+\cos n}{n^3+\sin n} \leq  \dfrac{\sqrt n+1}{n^3-1}\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz.

Limit karşılaştırma testi için aday:
Direkt karşılaştırma testine aday toplama terimi $1/n^{5/2}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. Terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{  \dfrac{\sqrt n+1}{n^3-1}}{\dfrac1{n^{5/2}}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^3+n^{5/2}}{n^3-1} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+n^{-1/2}}{1-n^{-3}}\\[15pt] &= \ \frac{1+0}{1-0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.

İstenen toplamın yakınsaklığı:
$p=5/2\ge 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{5/2}}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.

Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty  \dfrac{\sqrt n+1}{n^3-1}$$ toplamı yakınsak olur.

Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği,  $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt n+\cos n}{n^3+\sin n}$$ toplamının yakınsak olur.