$\infty-\infty$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için ilk olarak ikinci paydayı $(x-1)\cdot (x^2+x+1)$ olarak çarpanlara ayıralım. Daha sonra ortak payda altında toplayıp polinom kesiri elde edelim.
\begin{align*}
\lim\limits_{x\to 1} &\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3}{x^3-1}\right)\\[12pt]
&= \ \lim\limits_{x\to 1} \left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3}{(x-1)\cdot (x^2+x+1)}\right)\\[12pt]
&= \ \lim\limits_{x\to 1} \left(\dfrac{x^2+x+1}{(x-1)\cdot (x^2+x+1)}-\dfrac{3}{(x-1)\cdot (x^2+x+1)}\right)\\[12pt]
&= \ \lim\limits_{x\to -1} \dfrac{x^2+x-2}{(x-1)\cdot (x^2+x+1)}
\end{align*}
$0/0$ tipi belirsizlik var. İlk olarak payı $(x-1)\cdot (x+2)$ olarak çarpanlara ayıralım ve daha sonra $x-1$ sadeleştirmesi yaparak sonuca varalım.
\begin{align*}
\phantom{\lim\limits_{x\to 1}}
\ &= \ \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{(x-1)\cdot (x+2)}{(x-1)\cdot (x^2+x+1)}\\[12pt]
\ &= \ \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x+2}{x^2+x+1}\\[12pt]
\ &= \ \frac{1+2}{1^2+1+1}\\[12pt]
\ &= \ 1
\end{align*}
eşitliğini buluruz.