Başlangıç:
İki kare farkı ile $$n^2-m^2=(n+m)\cdot(n-m)$$ eşitliğini kullanarak, çarpanlar üzerinden bu ifadeyi analiz edeceğiz.
Durum I:
$n$ ve $m$ tam sayılarından biri çift biri tek ise $$n+m\ \ \ \text{ ve } \ \ \ n-m$$ değerleri tek olur. Bunların çarpımı olan $$(n+m)\cdot(n-m)=n^2-m^2$$ tek olur.
$2022$ bir çift tam sayı olduğundan bu durum mümkün değildir.
Durum II:
$n$ ve $m$ tam sayılarından ikisi de çift ya da ikisi de tek ise $$n+m\ \ \ \text{ ve } \ \ \ n-m$$ değerleri çift olur. Bunların çarpımı olan $$(n+m)\cdot(n-m)=n^2-m^2$$ değeri $2\cdot 2$ yani $4$ ile tam bölünür.
$2022$ tam sayısı $4$ ile tam bölünmediğinden bu durum mümkün değildir.
Sonuç:
Tüm olası durumları inceledik ve hiçbir çözüm bulamadık. Bu nedenle $$n^2-m^2=2022$$ eşitliğini sağlayan bir $(n,m)$ tam sayı ikilisi yoktur.