Yöntem:
Elimizde iki adet $14!$ var. Birini kendisi olarak diğerini Mod 29 içerisinde modüler yansıma olarak kullanacağız. Sonuca ise Wilson savı ile ulaşacağız.
Modüler yansıma:
Mod 29 içerisinde\begin{align*} 14! \ & = \ 1\times 2\times\cdots\times 13\times 14\\[15pt] & = \ (-1)\times (-2)\times\cdots\times (-13)\times (-14)\\[15pt] & \equiv \ (29-1)\times (29-2)\times\cdots\times (29-13)\times (29-14)\\[15pt] & = \ 28\times 27\times\cdots \times 16 \times 15\\[15pt] & = \ 15\times 16\times\cdots \times 27 \times 28\end{align*}denkliğini elde ederiz.
Modüler yansımanın kullanımı:
Bu denklik ile, Mod 29 içerisinde, \begin{align*}\left(14!\right)^2+1 \ & = \ 14! \times 14! +1 \\[15pt]& \equiv \ 14! \times \left( 15\times 16\times\cdots \times 27 \times 28\right)+1\\[15pt]& = \ 28!+1\end{align*}denkliğini elde ederiz.
Wilson savı:
$29$ asal bir sayı olduğundan Wilson savı gereği, Mod 29 içerisinde, \begin{align*}\left(14!\right)^2+1 \ & \equiv \ 28!+1\\[15pt]& = \ (29-1)!+1\\[15pt] & \equiv 0\end{align*}denkliğini elde ederiz.
Sonuç:
Bulduğumuz son denklik gereği $\left(14!\right)^2+1$ tam sayısı $29$ ile tam bölünür. Ayrıca $\left(14!\right)^2+1$ tam sayısı $29$'dan büyük olduğundan $\left(14!\right)^2+1$ bir asal sayı olamaz.