Bir örnek olarak 1111 sayısı için bakalım:
İç değeri karesele yakın olarak düzenleme:
$$1111=\frac19\cdot 9999=\frac19\cdot (10^4-1)$$ eşitliği saglanır.
Alt kare ve üst kare arasına alma:
$1/9$ kök dışına $1/3$ olarak çıkacağı için karesi $10^4-1$ değerine yakın ve 3 ile tam bölünen tam sayıları bulmamız gerekir. Bu sayılar da alttan $10^2-1$ ve üstten $10^2+2$ değerleridir. Dolayısıyla $$\frac19\cdot(10^2-1)^2<1111<\frac19\cdot(10^2+2)^2 $$ eşitsizliğini elde ederiz.
Sonuç:
Eşitsizlikte kök alırsak $$\frac13\cdot(10^2-1)<\sqrt{1111}<\frac13\cdot (10^2+2)$$ eşitsizliğini ve $$33<\sqrt{1111}<34$$ eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizlik de bize $$\underbrace{\left\lfloor \sqrt{1111}\right\rfloor}_{4 \ \text{adet } 1}=\underbrace{33}_{2 \ \text{adet } 3}$$ eşitliğini verir.
Tüm çift n=2k değerleri için:
Benzeri olarak $2k$ adet $1$ için $$\underbrace{11\ldots1}_{2k \ \text{adet } 1}=\frac19\cdot \underbrace{99\ldots9}_{2k \ \text{adet } 9}=\frac19\cdot (10^{2k}-1)$$ olarak yazılabilir ve $$\frac13\cdot(10^k-1)<\underbrace{\sqrt{11\ldots1}}_{2k \text{ adet }1 }<\frac13\cdot (10^k+2)$$ eşitsizliği sağlanır.
Bu eşitsizlik de bize $$\underbrace{\left\lfloor \sqrt{11\ldots1}\right\rfloor}_{2k \ \text{adet } 1}=\frac13\cdot(10^k-1)=\underbrace{33\ldots3}_{k \ \text{adet } 3}$$ eşitliğini verir.