Alt sınır:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $$n^2\ <\ n^2+n+1$$eşitsizliği sağlanır.
Üst sınır:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $$n^2+n+1\ < \ n^2+2n+1 \ = \ (n+1)^2$$eşitsizliği sağlanır.
Kök alma:
Kök fonksiyonu artan bir fonksiyon olduğundan $$n \ <\ \sqrt{n^2+n+1}\ <\ n+1$$eşitsizliği sağlanır.
Sonuç:
Bir tam sayı ve ardılı arasında başka bir tam sayı bulunamayacağından her $n$ pozitif tam sayısı için $\sqrt{n^2+n+1}$ bir tam sayı değildir; yani $$n^2+n+1$$ bir tam kare değildir.