Pozitif tam sayılar içerisinde $n^2+n+1$ ifadesinin tam kareliği

Question

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $$n^2+n+1$$ bir tam kare olabilir mi?

Answer 1

Alt sınır:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $$n^2\ <\ n^2+n+1$$eşitsizliği sağlanır.

Üst sınır:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $$n^2+n+1\ < \ n^2+2n+1 \ = \ (n+1)^2$$eşitsizliği sağlanır.

Kök alma:
Kök fonksiyonu artan bir fonksiyon olduğundan $$n \ <\ \sqrt{n^2+n+1}\ <\ n+1$$eşitsizliği sağlanır.

Sonuç:
Bir tam sayı ve ardılı arasında başka bir tam sayı bulunamayacağından her $n$ pozitif tam sayısı için  $\sqrt{n^2+n+1}$ bir tam sayı değildir; yani $$n^2+n+1$$ bir tam kare değildir.