$0/0$ belirsizliğimiz var. Payı polinom yapıp limiti polinom bölmesine çevirebilmek için payı ve paydayı limiti sıfır olmayan $\sqrt{x^2+9}+3$ ile çarpalım. $x-1$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim ve sonuca ulaşalım. Bu yol ile\begin{align*}\hspace{-4mm}\lim_{x\to 1}& \frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{x+3}}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{3x}}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 1} \left[\frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{x+3}}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{3x}} \cdot \frac{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}\cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}\right]\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 1} \left[\frac{(1+3x)-(x+3)}{(1+2x)-(3x)} \cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}\right]\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 1} \left[\frac{2\cdot(x-1)}{-(x-1)} \cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}\right]\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 1} \left[-2\cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}\right]\\[12pt]&= \ -2\cdot \frac{\sqrt{1+2\cdot1}+\sqrt{3\cdot 1}}{\sqrt{1+3\cdot 1}+\sqrt{1+3}}\\[12pt]&= \ -\sqrt3\end{align*}eşitliğini buluruz.