$a_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac1{2^k\cdot k^k \cdot k!}$ olmak üzere $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ toplamının yakınsaklığı

Question

Her $n$ pozitif tam sayısı için $a_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac1{2^k\cdot k^k \cdot k!}$  olmak üzere  $$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Bu toplamın terimleri alttan $1/2$ ile sınırlı olduğundan limiti varsa $\ge1/2$ olmalı. Bu bilgi limitin sıfır olamayacağını verir ve sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.

Terim limitin sıfır olmaması:
$\{a_n\}$ dizisinin limiti varsa $a_n\ge \dfrac1{2^1\cdot 1^1\cdot 1!}=\dfrac12$ olduğundan, baskınlık özelliği gereği, limit $1/2$ değerinden büyük eşit olur. Dolayısyla limiti $0$ olamaz.

Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfır olmadığından, ıraksaklık testi gereği, her $n$ pozitif tam sayısı için $a_n=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac1{2^k\cdot k^k\cdot k!}$ olmak üzere $$\sum_{n=1}^\infty a_n$$ toplamı ıraksar.