0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty n\sin\left(\dfrac1{n}\right)$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Toplamın terim limiti $1$ olduğundan, yani $0$ olmadığından, sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.

Terim limiti:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda\begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty} n\sin\left(\dfrac1{n}\right) \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\sin\left(n^{-1}\right)}{n^{-1}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sin\left(x^{-1}\right)}{x^{-1}} \qquad{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{\sin\left(t\right)}{t} \qquad{\color{teal}{(t=x^{-1})}}\\[15pt] &= \ 1\end{align*}eşitliği sağlanır.

Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfırdan faklı olduğundan, ıraksaklık testi gereği,$$\sum_{n=1}^\infty n\sin\left(\dfrac1{n}\right)$$ toplamı ıraksar.

...