0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+1)}$$ toplamının değerini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.

Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için $$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}$$ eşitliği sağlanır. 

Parça toplam: $\require{cancel}$
$k\ge 1$ için \begin{align*}\sum_{n=1}^k \dfrac{1}{n(n+1)}\ &= \ \sum_{n=1}^k \left(\dfrac1n-\dfrac1{n+1}\right) \\[10pt] &= \ \left(1-\cancel{\frac12}\right)\\ &\ \ +\left(\cancel{\frac12}-\cancel{\frac13}\right)\\ &\ \ +\left(\cancel{\frac13}-\cancel{\frac14}\right)\\ &\ \ \, +\\ &\ \  \ \vdots\\ &\ \ +\left(\cancel{\frac1k}-\frac1{k+1}\right)\\[10pt] &=\ 1-\frac1{k+1}\end{align*}eşitliği sağlanır.

Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+1)} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \dfrac{1}{n(n+1)}\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \left(1-\frac1{k+1}\right)\\[10pt] &= \ 1-0\\[10pt] &= \ 1\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

...