0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n^2+3n+2}$$ toplamının değerini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.

Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için $$\dfrac{1}{n^2+3n+2}=\dfrac1{(n+1)(n+2)}=\dfrac1{n+1}-\dfrac1{n+2}$$ eşitliği sağlanır. 

Parça toplam:  $\require{cancel}$
$k\ge 1$ için \begin{align*}\sum_{n=0}^k \dfrac{1}{n^2+3n+2}\ &= \ \sum_{n=0}^k \left(\dfrac1{n+1}-\dfrac1{n+2}\right) \\[10pt] &= \ \left(1-\cancel{\frac12}\right)\\ &\ \ +\left(\cancel{\frac12}-\cancel{\frac13}\right)\\ &\ \ +\left(\cancel{\frac13}-\cancel{\frac14}\right)\\ &\ \ \, +\\ &\ \  \ \vdots\\ &\ \ +\left(\cancel{\frac1{k+1}}-\frac1{k+2}\right)\\[10pt] &=\ 1-\frac1{k+2}\end{align*}eşitliği sağlanır.

Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n^2+3n+2} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=0}^k \dfrac{1}{n^2+3n+2}\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \left(1-\frac1{k+2}\right)\\[10pt] &= \ 1-0\\[10pt] &= \ 1\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

...