Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.
Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için $$\ln\left(\dfrac{\arctan(n+1)}{\arctan n}\right)=\ \ln\arctan(n+1)-\ln\arctan n$$ eşitliği sağlanır.
Parça toplam: $\require{cancel}$
$k\ge 1$ için \begin{align*}\sum_{n=1}^k \ln\left(\dfrac{\arctan(n+1)}{\arctan n}\right)\ &= \ \sum_{n=1}^k \left(\ln\arctan (n+1)-\ln\arctan n\right) \\[10pt] &= \ \left(\cancel{\ln\arctan 2}-\ln\arctan 1\right) \\ &\ \ +\left(\cancel{\ln\arctan 3}-\cancel{\ln\arctan2}\right)\\ &\ \ + \left(\cancel{\ln\arctan4}-\cancel{\ln\arctan3}\right)\\ &\ \ +\left(\cancel{\ln\arctan5}-\cancel{\ln\arctan4}\right)\\ &\ \ \ +\\ &\ \ \ \vdots\\ &\ \ +\left(\ln\arctan(k+1)-\cancel{\ln\arctan k}\right)\\[10pt] &=\ \ln\arctan(k+1)-\ln\arctan1\\[10pt] &=\ \ln\arctan(k+1)-\ln\frac\pi4\end{align*}eşitliği sağlanır.
Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \ln\left(\dfrac{\arctan(n+1)}{\arctan n}\right) \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \ln\left(\dfrac{\arctan(n+1)}{\arctan n}\right)\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \left(\ln\arctan(k+1)-\ln\frac\pi4\right)\\[10pt] &= \ln\frac\pi2-\ln\frac\pi4 \\[10pt] &= \ \ln\left(\dfrac{\pi/2}{\pi/4}\right)\\[10pt] &= \ \ln2\end{align*} eşitliğini elde ederiz.