Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.
Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için $$\dfrac{n}{(n+1)!}=\dfrac{(n+1)-1}{(n+1)!}=\dfrac1{n!}-\dfrac1{(n+1)!}$$ eşitliği sağlanır.
Parça toplam: $\require{cancel}$
$k\ge 1$ için \begin{align*}\sum_{n=1}^k \dfrac{n}{(n+1)!}\ &= \ \sum_{n=1}^k \left(\dfrac1{n!}-\dfrac1{(n+1)!}\right) \\[10pt] &= \ \left(1-\cancel{\frac1{2!}}\right)\\ &\ \ +\left(\cancel{\frac1{2!}}-\cancel{\frac1{3!}}\right)\\ &\ \ +\left(\cancel{\frac1{3!}}-\cancel{\frac1{4!}}\right)\\ &\ \ \, +\\ &\ \ \ \vdots\\ &\ \ +\left(\cancel{\frac1{k!}}-\frac1{(k+1)!}\right)\\[10pt] &=\ 1-\frac1{(k+1)!}\end{align*}eşitliği sağlanır.
Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n}{(n+1)!} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \dfrac{n}{(n+1)!}\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \left(1-\frac1{(k+1)!}\right)\\[10pt] &= \ 1-0\\[10pt] &= \ 1\end{align*} eşitliğini elde ederiz.