Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.
Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için $$\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}=\dfrac14\left(\dfrac1{(2n+1)(2n+3)}-\dfrac1{(2n+3)(2n+5)}\right)$$ eşitliği sağlanır.
Parça toplam:
$k\ge 1$ için \begin{align*}\require{cancel}\sum_{n=0}^k \dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}\ &= \ \sum_{n=0}^k \dfrac14\left(\dfrac1{(2n+1)(2n+3)}-\dfrac1{(2n+3)(2n+5)}\right) \\[10pt] &= \ \frac14\left(\frac1{1\cdot 3}-\cancel{\frac1{3\cdot 5}}\right)\\ &\ \ +\frac14\left(\cancel{\frac1{3\cdot 5}}-\cancel{\frac1{5\cdot 7}}\right)\\ &\ \ +\frac14\left(\cancel{\frac1{5\cdot 7}}-\cancel{\frac1{7\cdot 11}}\right)\\ &\ \ \, + \\ &\ \ \ \vdots\\ &\ \ +\frac14\left(\cancel{\frac1{(2k+1)(2k+3)}}-\frac1{(2k+3)(2k+5)}\right)\\[10pt] &=\frac14\ \left(\frac13-\frac1{(2k+3)(2k+5)}\right)\end{align*}eşitliği sağlanır.
Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=0}^k \dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \frac14\ \left(\frac13-\frac1{(2k+3)(2k+5)}\right)\\[10pt] &= \ \dfrac14 \left(\frac13-0\right) \\[10pt] &= \ \frac1{12}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.