Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.
Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için $$\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac12\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+2}\right)$$ eşitliği sağlanır.
Parça toplam:
$k\ge 2$ için \begin{align*}\require{cancel}\sum_{n=1}^k \dfrac{1}{n(n+2)}\ &= \ \sum_{n=1}^k \dfrac12\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+2}\right) \\[10pt] &= \ \dfrac12\left(1-\cancel{\frac13}\right)\\ &\ \ + \dfrac12\left(\frac12-\cancel{\frac14}\right)\\ &\ \ +\dfrac12\left(\cancel{\frac13}-\cancel{\frac15}\right)\\ &\ \ \, +\\ &\ \ \ \vdots\\ &\ \ +\dfrac12\left(\cancel{\frac1{k-2}}-\cancel{\frac1{k}}\right)\\&\ \ +\dfrac12\left(\cancel{\frac1{k-1}}-\frac1{k+1}\right)\\ &\ \ +\dfrac12\left(\cancel{\frac1k}-\frac1{k+2}\right)\\[10pt] &=\ \dfrac12 \left(1+\frac12-\frac1{k+1}-\frac1{k+2}\right)\end{align*}eşitliği sağlanır.
Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+2)} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \dfrac{1}{n(n+2)}\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \dfrac12 \left(1+\frac12-\frac1{k+1}-\frac1{k+2}\right)\\[10pt] &= \ \dfrac12 \left(1+\frac12-0-0\right) \\[10pt] &= \ \frac34\end{align*} eşitliğini elde ederiz.