Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.
Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için $$\dfrac1{n^2-1}=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}=\dfrac12\left(\dfrac1{n-1}-\dfrac1{n+1}\right)$$ eşitliği sağlanır.
Parça toplam:
$k\ge 3$ için \begin{align*}\require{cancel}\sum_{n=2}^k \dfrac{1}{n^2-1}\ &= \ \sum_{n=1}^k \dfrac12\left(\dfrac1{n-1}-\dfrac1{n+1}\right) \\[10pt] &= \ \dfrac12\left(1-\cancel{\frac13}\right)\\ &\ \ + \dfrac12\left(\frac12-\cancel{\frac14}\right)\\ &\ \ +\dfrac12\left(\cancel{\frac13}-\cancel{\frac15}\right)\\ &\ \ \, +\\ &\ \ \ \vdots\\ &\ \ +\dfrac12\left(\cancel{\frac1{k-3}}-\cancel{\frac1{k-1}}\right)\\&\ \ +\dfrac12\left(\cancel{\frac1{k-2}}-\frac1{k}\right)\\ &\ \ +\dfrac12\left(\cancel{\frac1{k-1}}-\frac1{k+1}\right)\\[10pt] &=\ \dfrac12 \left(1+\frac12-\frac1{k}-\frac1{k+1}\right)\end{align*}eşitliği sağlanır.
Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2-1} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \dfrac{1}{n^2-1}\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \dfrac12 \left(1+\frac12-\frac1{k}-\frac1{k+1}\right)\\[10pt] &= \ \dfrac12 \left(1+\frac12-0-0\right) \\[10pt] &= \ \frac34\end{align*} eşitliğini elde ederiz.