Fikir:
Toplamın terim limiti $\infty$ olduğundan, yani $0$ olmadığından, sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.
Terim için bir alt sınır:
Toplam içerisindeki terime baktığımızda, her $n$ pozitif tam sayısı için, \begin{align*}\dfrac{n^n}{n!}=\dfrac n1\cdot \left(\dfrac n2\cdot \dfrac n3\cdots \dfrac nn\right)\ge n\end{align*} eşitsizliği sağlanır.
Terim limiti:
Bu eşitsizlik sağlandığından ve $\lim\limits_{n\to \infty} n= \infty$ olduğundan $$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n^n}{n!}=\infty$$ sağlanır.
Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfır olmadığından, ıraksaklık testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^n}{n!}$$ toplamı ıraksar.