Bir $\epsilon>0$ alalım.
(1 - Sık kullanılan bir alt sınır ve elde edilişi) $g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değeri sıfır olmayan $M$ olduğundan $\epsilon=\frac{|M|}{2}>0$ seçimi için öyle $\delta_1>0$ değeri vardır ki $0<|x-a|<\delta_1$ ve $x\in A$ olduğunda $$|g(x)-M|<\frac{|M|}{2}$$ eşitsizliği sağlanır; üçgen eşitsizliği ile $$|M|=|g(x)-(g(x)-M)| \le|g(x)|+|g(x)-M|<|g(x)|+\frac{|M|}{2}$$ olduğunu elde ederiz; ve eşitsizliğin uç ifadeleri bize $$|g(x)|>\frac{|M|}{2}$$ eşitsizliğini verir.
(2) $g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değeri sıfır olmayan $M$ olduğundan, limit tanımı gereği, $\epsilon\cdot|M|^2/2>0$ (seçimi) için öyle $\delta_2>0$ değeri vardır ki $0<|x-a|<\delta_2$ ve $x\in A$ olduğunda $$|g(x)-M|<\dfrac{\epsilon\cdot|M|^2}{2}$$ eşitsizliği sağlanır.
$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2 \}>0$ olarak seçelim. $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda$$|g(x)-M|<\dfrac{\epsilon\cdot|M|^2}{2}\;\;\;\text{ ve }\;\;\; \dfrac{|M|}{2}<|g(x)|$$ eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda \begin{align*}{\color{blue}{\left|\frac1{g(x)}-\frac{1}{M}\right|}}&=\left|\frac{M-g(x)}{M\cdot g(x)}\right|\\[17pt]&=\frac{|g(x)-M|}{|M|\cdot |g(x)|}\\[17pt]&=\left(|g(x)-M|\right)\cdot \frac{1}{|M|}\cdot \frac1{|g(x)|}\\[17pt]&{\color{blue}<}\dfrac{\epsilon\cdot|M|^2}{2}\cdot\frac1{|M|}\cdot\frac2{|M|}\\[17pt]&={\color{blue}\epsilon}\end{align*} eşitsizliği sağlanır.
__________________________
$g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değeri sıfır olmayan $M$ olduğundan, ilk kısım gereği, $$\lim\limits_{x\to a}\left(\frac1 g\right)(x)=\frac1M$$ eşitliği sağlanır. Ayrıca $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limiti $L$ olduğundan, limitin çarpım özelliğinden, $$\lim\limits_{x\to a}\left(\frac fg\right)(x)=\lim\limits_{x\to a}\left(f\cdot \frac 1g\right)(x)=L\cdot \frac 1M=\frac LM$$ eşitliği sağlanır.