Question

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x-\tan x}{\sin x}$$ limitini bulunuz.

Answer 1

$\tan=\sin\cdot \cos^{-1}$ olarak yazalım. $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ eşit olduğunu kullanbilmek için payı ve paydayı $x$ ile bölelim ve  limit değerini bulalım. Bu yöntem ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \frac{x-\tan x}{\sin x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \frac{x-\sin x\cdot \frac1{\cos x}}{\sin x} \\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\frac{\sin x}{x}\cdot \frac1{\cos x}}{\frac{\sin x}{x}}\\[12pt]\ &= \ \frac{1-1\cdot \frac 1{\cos0}}{1} \\[12pt]\ &= \ 0\end{align*}eşitliğini buluruz.

Answer 2

Paydaki terimleri paydadaki $\sin x$ ile ayrı ayrı  bölelim ve  $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ eşit olduğunu kullanarak limit değerini bulalım. Bu yöntem ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \cfrac{x-\tan x}{\sin x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{x}{\sin x}-\dfrac 1{\cos x}\right) \\[12pt]\ &= \  1^{-1}-\frac{1}{\cos 0} \\[12pt]\ &= \ 0\end{align*}eşitliğini elde ederiz.